Question

7．设a＞0，b＞0，且a+b=1，则$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$的最小值为$\frac{4}{3}$，此时a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得a+1＞0，b+1＞0，且（a+1）+（b+1）=3，整体代入可得$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$）[（a+1）+（b+1）]=$\frac{1}{3}$（2+$\frac{b+1}{a+1}$+$\frac{a+1}{b+1}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，
∴a+1＞0，b+1＞0，且（a+1）+（b+1）=3
∴$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$）[（a+1）+（b+1）]
=$\frac{1}{3}$（2+$\frac{b+1}{a+1}$+$\frac{a+1}{b+1}$）≥$\frac{1}{3}$（2+2$\sqrt{\frac{b+1}{a+1}•\frac{a+1}{b+1}}$）=$\frac{4}{3}$
当且仅当$\frac{b+1}{a+1}$=$\frac{a+1}{b+1}$即a=b=$\frac{1}{2}$时取等号，
故答案为：$\frac{4}{3}$；$\frac{1}{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，变形后用整体法是解决问题的关键，属基础题．