Question

20．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx．
（1）若f（x）的一条切线是y=-x+3，求f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=f（x）-1在x∈[e^-1，e]上有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，设出切点（m，n），可得方程组，解方程可得a=2，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间；
（2）由题意可得a=x（1-lnx）在x∈[e^-1，e]上有两个零点，令h（x）=x（1-lnx），求出导数，求得单调区间，可得最值，再由函数方程的思想，可得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx的导数为f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
令切点为（m，n），则由题意可得$\frac{1}{m}$-$\frac{a}{{m}^{2}}$=-1，
m+n=3，n=lnm+$\frac{a}{m}$，
解得a=2，m=1，n=2，
即有f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
当x＞2时，f′（x）＞0，当0＜x＜2时，f′（x）＜0．
则f（x）的增区间为（2，+∞），减区间为（0，2）；
（2）函数g（x）=f（x）-1在x∈[e^-1，e]上有两个零点，
即为a=x（1-lnx）在x∈[e^-1，e]上有两个零点，
令h（x）=x（1-lnx），h′（x）=1-lnx-1=-lnx，
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，h′（x）＞0，h（x）递增；当1＜x≤e时，h′（x）＜0，h（x）递减．
x=1处取得最大值，且为1，
x=$\frac{1}{e}$时，h（x）=$\frac{2}{e}$；x=e时，h（x）=0．
由题意可得$\frac{2}{e}$≤a＜1，
则a的取值范围是[$\frac{2}{e}$，1）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数和方程的转化思想的运用，属于中档题．