Question

5．求下列数列的通项公式：
（1）a₁=1，a_n=$\sqrt{3{{a}_{n-1}}^{2}}$（n≥2）；
（2）a₁=1，a_n+1-a_n=ka_n•a_n+1．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=$\sqrt{3{{a}_{n-1}}^{2}}$＞0可知${{a}_{n}}^{2}$=3${{a}_{n-1}}^{2}$，进而数列{${{a}_{n}}^{2}$}是以1为首项、3为公比的等比数列，计算即得结论；
（2）通过对等式a_n+1-a_n=ka_n•a_n+1两边同时除以ka_n•a_n+1可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=k，进而数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、-k为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n=$\sqrt{3{{a}_{n-1}}^{2}}$＞0，
∴${{a}_{n}}^{2}$=3${{a}_{n-1}}^{2}$，
又∵${{a}_{1}}^{2}$=1，
∴数列{${{a}_{n}}^{2}$}是以1为首项、3为公比的等比数列，
∴${{a}_{n}}^{2}$=3^n-1，
∴a_n=$\sqrt{{3}^{n-1}}$=${3}^{\frac{n-1}{2}}$；
（2）∵a_n+1-a_n=ka_n•a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n+1}•{a}_{n}}$=$\frac{k{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=k，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、-k为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-（n-1）k，
∴a_n=$\frac{1}{1-（n-1）k}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．