Question

【题目】如图，正三棱柱的所有棱长都为2， 为中点，试用空间向量知识解下列问题：

（1）求证面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取BC中点O，连AO，在正三棱柱中，证得平面，进而取中点为,以O为原点建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量法，即可证得面.

（2）设平面的法向量为,求得，又由（1）知面，得为平面的法向量，再利用向量的夹角公式，即可求解

取BC中点O，连AO，∵为正三角形，

∴，∵在正三棱柱中，

平面ABC平面,∴平面，

取中点为,以O为原点，,,的方向为 ，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,

∵,.

∴，,∴面.

（2）设平面的法向量为,.

，∴，∴， ，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，

∴为平面的法向量，

，

∴二面角的余弦值为