题目内容
【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点,其焦点
在
轴正半轴上,
为直线
上一点,圆
与
轴相切(
为圆心),且
,
关于点
对称.
(1)求圆和抛物线
的标准方程;
(2)过的直线
交圆
于
,
两点,交抛物线
于
,
两点,求证:
.
【答案】(1)的标准方程为
.
的标准方程为
(2)见证明
【解析】
(1)根据题意可得,解得a、p,即可求出圆与抛物线的标准方程,
(2)设l的斜率为k,那么其方程为y=k(x+2),根据韦达定理和弦长公式即可证明.
(1)设抛物线的标准方程为
,则焦点
的坐标为
.
已知在直线
上,故可设
因为,
关于
对称,所以
,解得
所以的标准方程为
.
因为与
轴相切,故半径
,
所以的标准方程为
.
(2)由(1)知,直线的斜率存在,设为
,且方程为
则到直线
的距离为
,
所以,
由消去
并整理得:
.
设,
,则
,
,
.
所以
因为,
,
,所以
所以,即
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知元集合
的一些子集满足:每个子集至少含2个元素,每两个不同子集的交集至多含2个元素,记这些子集的元素个数的立方和为
.问:是否存在不小于3的正整数
,使
的最大值等于2009的方幂?说明你的理由.
【题目】目前,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了解新冠肺炎传播途径,采取有效防控措施,某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期低于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期不低于平均数的患者,称为“长潜伏者”.
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数;
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样,从上述500名患者中抽取300人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关;
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
60岁及以上 | 90 | ||
60岁以下 | 140 | ||
合计 | 300 |
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |