Question

15．已知$f（x）=2cos（2x+\frac{π}{3}）+4\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）若f（x）的定义域为$[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当f（A）=2，b+c=2，a=1时，求bc的值．

Answer 1

分析 （1）根据倍角公式和和差角（辅助角）公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而根据x∈$[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，结合正弦函数的图象和性质可得：f（x）的值域；
（2）由f（A）=2，可得A角，结合b+c=2，a=1及余弦定理，可得bc的值．

解答 解：（1）f（x）=2（cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$sin2x+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
当x∈$[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
则f（x）的值域为[0，3]．
（2）f（A）=2，即2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
即有2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得，A=$\frac{π}{3}$，
再由b+c=2，a=1及余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc=1，
∴bc=1．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象与性质，余弦定理，其中利用倍角公式和和差角（辅助角）公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式，是解答的关键．