Question

14．已知数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是公差为2的等差数列，且a₁=1，则数列{a_na_n+1}的前n项和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列的性质得$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）×2$=2n-1，从而a_na_n+1=$\frac{1}{2n-1}×\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），由此利用裂项求和法能求出数列{a_na_n+1}的前n项和．

解答 解：∵数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是公差为2的等差数列，且a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）×2$=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴a_na_n+1=$\frac{1}{2n-1}×\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．