Question

【题目】△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（1）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a，b，c成等差数列，

∴2b=a+c，

利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，

∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），

∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；

（2）解：∵a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

∴cosB= = ≥ = ，

当且仅当a=c时等号成立，

∴cosB的最小值为

【解析】（1）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（2）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．