题目内容
【题目】如图，椭圆
的离心率为
，其左焦点到椭圆上点的最远距离为3，点
为椭圆外一点，不过原点O的直线l与C相交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分
（1）求椭圆C的标准方程
（2）求
面积最大值时的直线l的方程.
【答案】(1) 
(2) y＝
【解析】
（1）由已知可得
，
，解方程组即可求出椭圆的标准方程.
（2）将
代入椭圆方程，利用点差法求出
，设出
，代入椭圆方程，利用弦长公式，点到直线的距离以及三角形面积公式，求出
面积，再利用导数思想求出面积最大值时
的值，即可求出直线方程.
（1）由题：，
左焦点
到椭圆上点的最远距离为
，
即：，可解得：
.
∴所求椭圆
的方程为：.
（2）易得直线
的方程：
，设
，
，
的中点
.其中
.
∵在椭圆上，
∴
整理得：
，
因为，代入求得：.
设直线的方程为，
，
代入椭圆：
.
由
，可得：
，且
.
由上又有：
，
，
∴
.
∵点
到直线
的距离为：
，
∴
.
令
， 且.
，
整理得：
当
时，
取得最大值，
此时直线的方程
.
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