已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为e=$\frac{1}{2}$.且过点($\frac{1}{3}$.$\frac{\sqrt{13}}{2}$)(1)求椭圆C的方程,(2)已知A.B是椭圆上的两点.点M的坐标为(1.0).当A.B两点不关于x轴对称时.试探求△MAB能否为等边三角形.并说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{1}{2}$，且过点（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A、B是椭圆上的两点，点M的坐标为（1，0），当A、B两点不关于x轴对称时，试探求△MAB能否为等边三角形，并说明理由．

分析（1）由椭圆C的离心率为e=$\frac{1}{2}$，且过点（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$），可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{9{a}^{2}}+\frac{13}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得即可；
（2））（i）当AB∥x轴时，与椭圆方程联立可得两个△MAB为等边三角形；
（ii）当AB与x轴不平行也不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（x₀，y₀），直线方程与椭圆方程联立可得：（9+12k²）x²+24kmx+12m²-40=0，由△＞0，得到9m²＜30+40k²．利用根与系数的关系可得：N$（\frac{-12km}{9+12{k}^{2}}，\frac{9m}{9+12{k}^{2}}）$．又M（0，1），若△MAB为等边三角形，则k_MN•k=-1，化为m=-3-4k²．代入△＞0，化为144k⁴+176k²+51＜0，看此方程是否有解即可．

解答解：（1）∵椭圆C的离心率为e=$\frac{1}{2}$，且过点（$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{9{a}^{2}}+\frac{13}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得b²=$\frac{10}{3}$，a²=$\frac{40}{9}$．
∴椭圆C的方程为：$\frac{9{x}^{2}}{40}+\frac{3{y}^{2}}{10}=1$．
（2）（i）当AB∥x轴时，直线AM的斜率为$\sqrt{3}$，方程为y=$\sqrt{3}$x+1，与椭圆方程联立可得两个△MAB为等边三角形；
（ii）当AB与x轴不平行也不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点N（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9{x}^{2}}{40}+\frac{3{y}^{2}}{10}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y可得：（9+12k²）x²+24kmx+12m²-40=0，由△＞0，得到9m²＜30+40k²．
∴x₁+x₂=$\frac{-24km}{9+12{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{18m}{9+12{k}^{2}}$，
解得N$（\frac{-12km}{9+12{k}^{2}}，\frac{9m}{9+12{k}^{2}}）$．又M（0，1），
若△MAB为等边三角形，则k_MN•k=-1，
∴$\frac{\frac{9m}{9+12{k}^{2}}-1}{\frac{-12km}{9+12{k}^{2}}-0}$×k=-1，化为m=-3-4k²．
代入△＞0，化为144k⁴+176k²+51＜0，
但是${k}_{1}^{2}+{k}_{2}^{2}$=-$\frac{176}{144}$，因此无解．
综上可得：只有当AB∥x轴时，与椭圆方程联立可得两个△MAB为等边三角形．