Question

4．已知正四棱锥P-ABCD中，AB=6cm，侧面与底面ABCD所成角的大小为45°
（1）求正四棱锥的体积；
（2）侧棱与底面所成角的大小（精确到1度）

Answer 1

分析 （1）求四棱锥P-ABCD的体积，关键是求出底面积与高，进而利用公式求解．
（2）要求侧棱与底面ABCD所成角的大小，关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影．找出所求角的平面角，进而可求侧棱与底面ABCD所成角的大小．

解答 解：（1）过P作斜高PE，PO⊥底面ABCD，AD∥BC．
正四棱锥P-ABCD中，AB=6cm，侧面与底面ABCD所成角的大小为45°，即∠PEO=45°，PO=3．
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×6×6×3$=36．（cm³）．
（2）连结OB，PO⊥底面ABCD，∠PBO就是侧棱与底面所成角．侧棱与底面ABCD所成角的大小为：θ．
OB=3$\sqrt{2}$．
tanθ=$\frac{3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
可得θ=36°．

点评 本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查侧棱与底面ABCD所成角的大小，关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影，考查几何体的体积，属于中档题．