Question

【题目】已知如图，菱形的边长为2，对角线，现将沿着对角线翻折至点.

（1）求证：；

（2）若，且点E为线段的中点，求与平面夹角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点O，连接和，在菱形中，易得，，，再利用线面垂直的判定定理证明.

（2）根据平面几何知识，得到为等边三角形，再由（1）得平面平面，则平面.作，以点O为坐标原点，、、分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求得平面的一个法向量为，的坐标，然后代入公式.

（1）如图所示：

取的中点O，连接和，

在菱形中，

，，，

所以面，

又面，

所以.

（2）由于菱形的边长为2，，取的中点F，

根据余弦定理得，

因为，

所以，

所以，

所以.

又，则为等边三角形，

由（1）得平面平面，则平面.

作，以点O为坐标原点，、、分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，

设面的一个法向量为，

则，则，

令，则 ，

所以，，

设与平面的夹角为θ，

则.