题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，其上焦点到直线
的距离为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线
交椭圆于
，
两点.试探究以线段
为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.
【答案】（1）
（2）详见解析
【解析】
（1）由椭圆离心率结合
得到a,b,c之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l斜率不存在时，得到
为直径的圆的方程，当直线l斜率为0时，得到为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q，然后只需证明当直线
的斜率存在且不为0时
为直径的圆恒过点Q即可.
解：（1） 由题意，
，
，所以
，
.
又
，
，所以
，
，故椭圆
的方程为
（2）当
轴时，以为直径的圆的方程为
当
轴时，以为直径的圆的方程为
.
可得两圆交点为
．
由此可知，若以为直径的圆恒过定点，则该定点必为．
下证
符合题意．
设直线的斜率存在，且不为0，则方程为
，代入
并整理得
， 设
，
，
则
， 
，
所以
故
，即在以为直径的圆上．
综上，以为直径的圆恒过定点
．
练习册系列答案
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分数分组 |
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文科频数 | 12 | 4 | 10 | 11 | 23 |
理科频数 | 3 | 7 | 2 | 10 | 8 |
由此可估计文科考生的不及格人数（90分为及格分数线）大约为（ ）
A.128B.156C.204D.132
