Question

【题目】已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用导数构造函数exf（x）＝x2+2.5x+c，求得f（x）＝（x2+2.5x+1）e﹣x，再求导研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．

∵f'（x）＝e﹣x（2x+2.5）﹣f（x），

∴ex[f（′x）+f（x）]＝2x+2.5，

∴exf（x）＝x2+2.5x+c，

∵f（0）＝1，∴1＝0+0+c，解得c＝1

∴f（x）＝（x2+2.5x+1）e﹣x，

∴f′（x）＝﹣（x2x）e﹣x＝﹣（x﹣1）（x）e﹣x．

令f′（x）＝0，解得x＝1或x，

当x或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递减增，

可得：x＝1时，函数f（x）取得极大值，x时，函数f（x）取得极小值，

∵f（﹣2）＝0，f（﹣1）e，f（0）＝1＞0，

∴e＜m≤0时，f（x）﹣m＜0的解集中恰有唯一一个整数﹣1．

故m的取值范围是（e，0]，

故选：A．