题目内容
已知椭圆C：
＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为
，且过点(2，
)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：
为定值．
＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点(2，)．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，求证：
为定值．（1）
＝1（2）
＝1（2）(1)由已知，e＝
＝，所以
＝
＝1－e2＝
，所以a2＝2b2.
所以C：
＝1，即x2＋2y2＝2b2.
因为椭圆C过点(2，)，代入椭圆方程得b2＝4，所以a2＝8.
所以椭圆C的标准方程为＝1.
(2)证明：由(1)知椭圆的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)．
根据题意，可设直线MN的方程为y＝k(x＋2)，
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y＝－
(x－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由方程组
消去y得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.
则x1＋x2＝
，x1x2＝
.
所以|MN|＝
＝
.同理可得|PQ|＝
.
所以
＝，所以＝＝1－e2＝，所以a2＝2b2.所以C：
＝1，即x2＋2y2＝2b2.因为椭圆C过点(2，
)，代入椭圆方程得b2＝4，所以a2＝8.所以椭圆C的标准方程为
＝1.(2)证明：由(1)知椭圆的焦点坐标为F1(－2，0)，F2(2，0)．
根据题意，可设直线MN的方程为y＝k(x＋2)，
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y＝－
(x－2)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由方程组
消去y得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.则x1＋x2＝
，x1x2＝.所以|MN|＝
＝.同理可得|PQ|＝.所以
练习册系列答案
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+
=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P(
,
).
：方程
所表示的曲线为焦点在
轴上的椭圆；命题
：实数
满足不等式
.
的取值范围．
的一个焦点
与抛物线
的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为
，倾斜角为
的直线
过点
，问抛物线
，使得
+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,
·
的值等于( )
＋cos
，g(x)＝2sin2
.
，求g(α)的值；
·
＝
，则点P的轨迹是( )
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．
与椭圆
的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且
为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是 。