题目内容
【题目】已知,
.
(1)当时,求证:对于
,
恒成立;
(2)若存在,使得当
时,恒有
成立,试求k的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)令,利用导数判断出
的单调性和单调区间,得出
的最大值,证明
即可;
(2)由(1)易知时显然不满足,而
时,
时,
,此时
更不可能成立,当
时,令
,通过导数判断
的单调性,证得
成立即可.
(1)证明:当时,
令,
,
令,即
,解得
或
(舍).
所以当时,
,
在
上单调递减.
所以,
所以对于,即
.
(2)由(1)知,当时,
恒成立,即对于
,
不存在满足条件的;
当时,对于
,
,此时
,
所以,
即恒成立,不存在满足条件的
;
当时,令
,
,
令,
又为一开口向下的抛物线,且
时,
,
又,
所以必存在,使得
.
所以时,
,
,
单调递增;
当时,
,
,
单调递减.
当时,
,即
恒成立,
综上,k的取值范围为.
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