题目内容
(本题满分14分)已知是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若直线与函数的图象有3个交点,求的取值范围.
(Ⅰ)
(Ⅱ)的单调增区间是,的单调减区间是
(Ⅲ)。
(Ⅱ)的单调增区间是,的单调减区间是
(Ⅲ)。
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解参数的值,以及函数的单调区间,和函数与方程的关系的综合运用。
(1)由于是函数的一个极值点.,则说明在该点的导数值为零,得到参数a的值。
(2)然后利用第一问的结论,得到导数,结合导数的符号与单调性的关系,求解单调区间。
(3)分离函数的思想,研究两个图像的交点个数,即为方程解的问题的运用。
(Ⅰ)因为
所以
因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当时,
当时,
所以的单调增区间是
的单调减区间是
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,
所以的极大值为,极小值为
因此
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当
因此,的取值范围为。
(1)由于是函数的一个极值点.,则说明在该点的导数值为零,得到参数a的值。
(2)然后利用第一问的结论,得到导数,结合导数的符号与单调性的关系,求解单调区间。
(3)分离函数的思想,研究两个图像的交点个数,即为方程解的问题的运用。
(Ⅰ)因为
所以
因此
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当时,
当时,
所以的单调增区间是
的单调减区间是
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,在内单调增加,在内单调减少,在上单调增加,且当或时,
所以的极大值为,极小值为
因此
所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点,当且仅当
因此,的取值范围为。
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