题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求
的最小值;
(2)若,且
,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)当时,
,先求导可得
,设
,利用导函数可判断
在
上单调递增,由
,即可判断
的单调性,进而求解;
(2)先求导可得,容易得到
在
上单调递增,由
,即可判断
在
上单调递减,在
上单调递增,设
,则
,
,设
,利用导函数可判断
在
上单调递增,则
,即
,则可得
,即
,进而由
的单调性求证即可.
(1)解:当时,
,
所以,
设,则
,所以
在
上单调递增,
即在
上单调递增,
因为,
所以当时,
;当
时,
,
因此在
上单调递减,在
上单调递增,
所以.
(2)证明:,则
,所以
在
上单调递增,因为
,
所以当时,
;当
时,
,
因此,在
上单调递减,在
上单调递增,
由,不妨设
,则
,
,
令
,
则
,
当时,
,
故,所以
在
上单调递增;
所以当时,
即
时,
,
因此,
又,所以
,
因为,
,
在
上单调递增,
所以,即
,故
.

练习册系列答案
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【题目】红铃虫(Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害虫之一,其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的8组观测数据,制成图1所示的散点图.现用两种模型①,②
分别进行拟合,由此得到相应的回归方程并进行残差分析,进一步得到图2所示的残差图.
根据收集到的数据,计算得到如下值:
25 | 2.89 | 646 | 168 | 422688 | 48.48 | 70308 |
表中;
;
;
;
(1)根据残差图,比较模型①、②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由;
(2)根据(1)中所选择的模型,求出y关于x的回归方程(系数精确到0.01),并求温度为34℃时,产卵数y的预报值.
(参考数据:,
,
,
)
附:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
.