题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，
是棱
的中点，
.
（1）证明：
平面
；
（2）设
是线段
的中点，且
平面，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）连接
，交
于点
，连接
，通过证明
，证得
平面
.
（2）建立空间直角坐标系，通过平面
和平面
的法向量，计算出二面角
的余弦值.
（1）如图，连接，交于点，连接.
易知
，所以
.
由
可得
，
所以.
又
平面，
平面，所以平面.
（2）因为
平面
，所以
，又
是线段
的中点，所以
.
因为
，故
，
均是等边三角形.
连接
，易知
，
.
如图，以为原点，
，
，
分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立空间直角坐标系.
不妨设
，则
，
，
，
，
.
由
，得
，
所以
的中点
，所以
，
.
设平面的一个法向量为
，则
，即
.
得方程组的一组解为
，即
.
又平面的一个法向量为
，
所以
.
所以二面角的余弦值为.
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