题目内容
【题目】某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，
，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为
.记∠PCA＝
（道路宽度均忽略不计）.
（1）若
，求QN的长度；
（2）求新路总长度的最小值.
【答案】（1）QN的长度为1千米（2）
【解析】
（1）连接
，通过切线的几何性质，证得四边形
是正方形，由此求得
的长度.
（2）用
表示出线段
，
，线段的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.
（1）连接CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN均与圆C相切
∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA
∵∠PCA＝
，∠PCQ＝
，∴∠QCB＝
，
此时四边形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，
答：QN的长度为1千米；
（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝
，
则MP＝
，
，NQ＝
设新路长为
，其中
(，
)，即
∴
，
，当
时取“＝”，
答：新路总长度的最小值为.
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