题目内容
(已知椭圆 经过点其离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点.求到直线距离的最小值.
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析试题分析:(Ⅰ)由离心率为,得①,又过点,得②,联立①②求;
(Ⅱ)直线和圆锥曲线的位置关系问题,一般会根据已知条件结合韦达定理列式确定参数的值或者取值范围,设直线:,联立椭圆方程,消去,得关于的二次方程,设,利用韦达定理将点的坐标表示出来,,因为在椭圆上,代入椭圆方程,得的等式①,点到直线的距离为,联立①得关于,或的函数,进而求其最小值,再考虑斜率不存在时的情况,求最小值,然后和斜率存在时候的最小值比较大小,得结论.
试题解析:(Ⅰ)由已知,所以, ① 又点在椭圆上,所以, ② 由①②解之得,故椭圆的方程为 ;
(Ⅱ)当直线有斜率时,设时,则由
消去得,
, ③
设则,由于点在椭圆上,所以,从而,化简得,经检验满足③式,又点到直线的距离为:,并且仅当时等号成立;当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,从而点为,直线为,所以点到直线的距离为1,所以点到直线的距离最小值为.
考点:1、椭圆的标准方程;2、韦达定理;3、点到直线的距离.
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