题目内容
【题目】如图，在直角
中，
，
通过以直线
为轴顺时针旋转
得到（
）.点
为斜边
上一点.点
为线段
上一点，且
.
（1）证明：
平面
；
（2）当直线
与平面所成的角取最大值时，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先算出
的长度，利用勾股定理证明
，再由已知可得
，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由（1）可得
为直线
与平面
所成的角，要使其最大，则
应最小，可得
为
中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.
（1）在
中，
，由余弦定理得
，
∴
，
∴，
由题意可知：∴
，
，
，
∴
平面
，
平面，∴，
又
，
∴
平面.
（2）以
为坐标原点，以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向，建立空间直角坐标系.
∵平面，∴在平面上的射影是，
∴与平面所成的角是，∴最大时，即
，点为中点.
，
，
，
，
，
，
，设平面
的法向量
，
由
，得
，令
，得
，
所以平面的法向量
，
同理，设平面
的法向量
，由
，得
，
令
，得
，所以平面的法向量
，
∴
，
，
故二面角
的正弦值为.
【题目】“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
，如表所示：
试销单价x（元） | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量y（件） | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
（Ⅰ）求出q的值；
（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程
；
（Ⅲ）用
表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值.当销售数据
对应的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数
的分布列和数学期望
．
（参考公式：线性回归方程中
最小二乘估计分别为
）
【题目】临近开学季，某大学城附近的一款“网红”书包销售火爆，其成本是每件15元．经多数商家销售经验，这款书包在未来1个月（按30天计算）的日销售量
（个）与时间
（天）的关系如下表所示：
时间（ | 1 | 4 | 7 | 11 | 28 | … |
日销售量（ | 196 | 184 | 172 | 156 | 88 | … |
未来1个月内，前15天每天的价格
（元/个）与时间（天）的函数关系式为
（且为整数），后15天每天的价格
（元/个）与时间（天）的函数关系式为
（且为整数）．
（1）认真分析表格中的数据，用所学过的一次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据（个）与（天）的关系式；
（2）试预测未来1个月中哪一天的日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）在实际销售的第1周（7天），商家决定每销售1件商品就捐赠
元利润
给该城区养老院．商家通过销售记录发现，这周中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围．
