题目内容
【题目】已知椭圆
过点
，且焦距为4
（1）求椭圆
的标准方程：
（2）设
为直线
上一点，
为椭圆上一点.以
为直径的圆恒过坐标原点
.
(i)求
的取值范围
(ii)是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）(i)
(ii)存在；定圆的方程
【解析】
（1）将点
代入椭圆方程，结合
关系，即可求解；
（2）(i)设
，由已知有
，可得
代入椭圆方程，将
用
表示，进而求出
关于的函数，根据函数特征求出最值；
(ii)将问题转化为原点到直线
的距离是否为定值，先求出直线方程，求出坐标原点到直线的距离，利用(i)中关系将
用表示，整理即可得出结论.
（1）将点的坐标代入椭圆
的方程得
，
解得
，
所以椭圆C的方程为
（2）设.
因为以为直径的圆恒过点
，
所以
，即
因为
点在椭圆上，所以
；
(i)将代入椭圆，得
于是
因为
当且仅当
，即
时，取等号.
所以的取值范围为
(ii)存在.定圆的方程为.
假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.
因为，所以直线方程为
，
整理可得
所以到直线的距离
由(i)知，，得.
，
注意到
，知
所以
又
，
所以，
因此，直线与圆恒相切.
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【题目】为认真贯彻落实党中央国务院决策部署，坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”定位，坚持调控政策的连续性和稳定性，进一步稳定某省市商品住房市场，该市人民政府办公厅出台了相关文件来控制房价，并取得了一定效果，下表是2019年2月至6月以来该市某城区的房价均值数据：
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 9.80 | 9.70 |
| 9.30 | 9.20 |
已知：
．
（1）若变量
、
具有线性相关关系，求房价均价（千元/平方米）关于月份的线性回归方程
；
（2）根据线性回归方程预测该市某城区7月份的房价．
（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式
）
