题目内容
【题目】已知点是圆
:
上的一动点,点
,点
在线段
上,且满足
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设曲线与
轴的正半轴,
轴的正半轴的交点分别为点
,
,斜率为
的动直线
交曲线
于
、
两点,其中点
在第一象限,求四边形
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由向量的数量积的运算,可得,化简得
,利用椭圆的定义,即可求得动点的轨迹方程.
(2)设直线的方程为
,联立方程组,利用根与系数的关系和弦长公式,求得
和
,在利用点到直线的距离公式,求得点
到直线
的距离
和点
到直线
的距离为
,得出四边形
面积,即可求解.
(1)由题意,
,
∴.
∴
,
∴点的轨迹是以点
,
为焦点且长轴长为6的椭圆,
即,
,∴
,
,∴
.
即点的轨迹
的方程为
.
(2)由(1)可得,
.
设直线的方程为
,由点
在第一象限,得
,
,
,
由,得
,
则,
,
,
点到直线
的距离为
,点
到直线
的距离为
,
∴四边形面积
,
又,∴当
时,
取得最大值
.
即四边形面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额,分组如下:(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图:
(1)若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户,称为“健身达人”,经数据 处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关?
健身达人 | 非健身达人 | 总计 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
总计 |
(2)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特别推出健身配套营养品的销售,现有两种促销方案.
方案一:每满800元可立减100元;
方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
(3)在(2)中的方案二中,金额超过800元可抽奖三次,假设三次中奖结果互不影响,且三次中奖的概率为,记
为锐角
的内角,
求证:
附: