Question

【题目】如图，四棱锥中,底面是边长为4的正方形,侧面为正三角形且二面角为.

（Ⅰ）设侧面与的交线为,求证:;

（Ⅱ）设底边与侧面所成角的为,求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】

(Ⅰ)先证明平面,再根据线面平行的性质定理即可证.

(Ⅱ) 取的中点、 的中点,由二面角的定义可知.作 ,以 为原点,、 为、 轴,建立空间直角坐标系,求出平面 的法向量,则由 可求.

证明:(Ⅰ)因为,所以平面.

又因为侧面与的交线为,所以m∥BC．

（Ⅱ）解:取的中点、 的中点,连接、

则,.所以是侧面与底面所成二面角的平面角．

从而.作于,则底面.

因为,.所以,.

以为原点, 、 为、 轴.如图建立空间直角坐标系．

则,,．

设是平面的法向量，则

取,得.则．