题目内容
【题目】设双曲线方程为,过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于A,B两点,直线的方程为,A,B在直线上的射影分别为C,D.
(1)当垂直于x轴,时,求四边形的面积;
(2),的斜率为正实数,A在第一象限,B在第四象限,试比较与1的大小;
(3)是否存在实数,使得对满足题意的任意,直线和直线的交点总在轴上,若存在,求出所有的值和此时直线和交点的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,,此时两直线的交点为.
【解析】
(1))当垂直于x轴,直线方程为,四边形为矩形,将代入双曲线方程,求出坐标,得出,即可求解;
(2)设的方程为,,设两点的纵坐标分别为,将的方程与双曲线方程联立,得到关于的方程,根据韦达定理得出关系,结合,,,将根据线段长公式化简,
再利用点在双曲线上可得,由,
即可得出结论;
(3)设,,则,,求出直线和直线的方程,利用两条直线相交在轴上,可得,将关系,代入,得对一切都成立,有,求出交点的横坐标,即可求解.
(1)右焦点的坐标为.故.
联立解得.故,
又,故四边形的面积为;
(2)设的方程为,这里.
将的方程与双曲线方程联立,得到
,即.
由知,此时,
由于,故,
即,故,因此;
(3)由(2)得.(有两交点表示)
设,,则,.
的绝对值不小于,故,且.
又因直线斜率不为零,故.
直线的方程为.
直线的方程为.
若这两条直线的交点在轴上,则当时,
两方程的应相同,即
.
故,
即.
现,,
代入上式,得对一切都成立.
即,.
此时交点的横坐标为
.
综上,存在,,此时两直线的交点为.
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