题目内容
8.在△ABC中,若C=90°,三边为a,b,c,则$\frac{a+b}{c}$的范围是( )A. | ($\sqrt{2}$,2) | B. | (1,$\sqrt{2}$] | C. | (0,$\sqrt{2}$] | D. | [$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,$\sqrt{2}$] |
分析 运用直角三角形的勾股定理和不等式:a2+b2≥2ab>0,当且仅当a=b取得等号,化简整理即可得到取值范围.
解答 解:△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,
即有c2=a2+b2,
则$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a+b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{(a+b)^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$,
∵a2+b2≥2ab>0,当且仅当a=b取得等号,
即有$\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$∈(0,1],
∴$\frac{a+b}{c}$的取值范围为(1,$\sqrt{2}$],
故选:B.
点评 本题着重考查了直角三角形的勾股定理与基本不等式的运用:求最值,属于中档题.
练习册系列答案
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18.已知直线y=kx+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共点,则实数m的取值范围为( )
A. | m≥1 | B. | m≥1且m≠1 | C. | m≥1且m≠5 | D. | 0<m<5且m≠1 |
16.下列命题中正确的是( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”;
②“正三角形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
④在实数范围内,“若x-$\sqrt{2}$是有理数,则x是无理数”的否命题.
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”;
②“正三角形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
④在实数范围内,“若x-$\sqrt{2}$是有理数,则x是无理数”的否命题.
A. | ①②③④ | B. | ①③ | C. | ②③ | D. | ①④ |
17.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该渔船沿北偏东105°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速21海里,则舰艇到达渔船的最短时间是( )小时.
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | 1 |