题目内容
5．已知函数f（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$．（1）若函数f（x）在区间（0，k）上存在零点，求实数k的取值范围；
（2）记Pn（n，lnn）（n∈N+），线段PnPn+1的斜率为kn，Sn=$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$，求证：Sn＜$\frac{n（n+2）}{2}$．
分析 （1）利用函数的导数判断函数的得到，然后求解函数的零点，推出k的范围．
（2）利用两点的连线的斜率公式得出kn，再利用（1）的结论对Sn放缩即可得出结论．
解答 解：（1）函数f（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
求导可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x-1）}{（{x+1）}^{2}}$=$\frac{（{x-1）}^{2}}{x（{x+1）}^{2}}$≥0
所以，f（x）在（0，+∞）单调递增，
函数f（x）在区间（0，k）上存在零点，
f（k）=lnk-$\frac{2（k-1）}{k+1}$≥0．
可得k=1，
实数k的取值范围[1，+∞）．
（2）依题意，kn=$\frac{ln（n+1）-lnn}{n+1-n}$=ln（1+$\frac{1}{n}$）．
由（1）可知，当x＞1时f（x）＞0，即lnk＞$\frac{2（k-1）}{k+1}$．
于是 ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{2（1+\frac{1}{n}-1）}{1+\frac{1}{n}+1}$=$\frac{2}{2n+1}$，即知$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{2n+1}{2}$．
所以 Sn=$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+\frac{7}{2}+…+\frac{2n+1}{2}$=$\frac{\frac{3+2n+1}{2}•n}{2}$=$\frac{n（n+2）}{2}$．
点评 本题考查导数的性质的综合运用及运用导数法证明函数与不等式的综合问题的处理能力，解题时注意转化思想的运用．
