Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是a和a_n的等差中项．
(1)证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
(2)证明＜2.

Answer 1

（1）a_n＝n.（2）见解析

(1)由已知得，2S_n＝＋a_n，且a_n＞0，
当n＝1时，2a₁＝＋a₁，解得a₁＝1(a₁＝0舍去)；
当n≥2时，有2S_n－1＝＋a_n－1.
于是2S_n－2S_n－1＝－＋a_n－a_n－1，
即2a_n＝－＋a_n－a_n－1.
于是－＝a_n＋a_n－1，即(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1)＝a_n＋a_n－1.
因为a_n＋a_n－1＞0，所以a_n－a_n－1＝1(n≥2)．
故数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝n.
(2)证明：因为a_n＝n，则S_n＝，，
所以＝2＝2＜2.