Question

（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=-x²在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+

a

x

在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x₁，x₂，x₃，…，x2n，证明：f(

x1+x2+…+x2n

2n

)≥

1

2n

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

Answer 1

分析：（1）直接利用函数是“凸函数”的定义，通过放缩法证明即可；
（2）直接利用函数f(x)=x2+

a

x

在区间[1，2]上是“凸函数”，列出关系式，利用基本不等式求实数a的取值范围；
（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x₁，x₂，x₃，…，x2n，利用数学归纳法的证明步骤直接证明：f(

x1+x2+…+x2n

2n

)≥

1

2n

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

解答：（18分）解：（1）设x₁，x₂是任意两个实数，则有f(

x1+x2

2

)=-(

x1+x2

2

)2=

1

4

(-

x

2 1

-2x1x2-

x

2 2

)≥

1

2

(-

x

2 1

-

x

2 2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]．
∴函数f（x）=-x²在R是“凸函数”．…（4分）
（2）若对于

1，2

上的任意两个数x₁，x₂，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(

x

2 1

+

a

x1

)+(

x

2 2

+

a

x2

)]，
整理得(x1-x2)2a≤-

1

2

(x1-x2)2x1x2(x1+x2)…（7分）
若x₁=x₂，a可以取任意值．
若x₁≠x₂，得a≤-

1

2

x1x2(x1+x2)，
∵-8＜-

1

2

x1x2(x1+x2)＜-1，
∴a≤-8．
综上所述得a≤-8．…（10分）
（3）当k=1时由已知得f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
假设当k=m（m∈N^*）时，不等式成立即f(

x1+x2+…+x2k

2m+1

)≥

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]成立．
那么，由c≤

x1+x2+…+x2m

2m

≤d，c≤

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

≤d
得f(

x1+x2+…+x2m+1

2m+1

)=f{

1

2

[

x1+x2+…+x2m

2m

+

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

]}≥

1

2

[f(

x1+x2+…+x2m

2m

)+f(

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

)]≥

1

2

{

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]+

1

2m

[f(x2m+1)+f(x2m+2)+…+f(x2m+1)]}
=

1

2m+1

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m+1)]．
即k=m+1时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．…（18分）

点评：本题考查数学归纳法以及放缩法证明问题的步骤，新定义的应用，考查分析问题与解决问题的能力．