题目内容
（2013•虹口区二模）已知复数zn=an+bn•i，其中an∈R，bn∈R，n∈N*，i是虚数单位，且zn+1=2zn+
+2i，z1=1+i．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求和：①z1+z2+…+zn；②a1b1+a2b2+…+anbn．
. | zn |
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求和：①z1+z2+…+zn；②a1b1+a2b2+…+anbn．
分析：（1）由zn=an+bn•i，取n=1后得到z1=a1+b1•i，结合已知条件求出a1，b1．再由zn+1=2zn+
+2i，
把zn=an+bn•i代入后由复数相等可得数列{an}，{bn}分别为等比数列和等差数列，则数列{an}，{bn}的通项公式可求；
（2）①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简，②由错位相减法进行求解．
. |
| zn |
把zn=an+bn•i代入后由复数相等可得数列{an}，{bn}分别为等比数列和等差数列，则数列{an}，{bn}的通项公式可求；
（2）①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简，②由错位相减法进行求解．
解答：解：（1）∵z1=a1+b1•i=1+i，∴a1=1，b1=1．
由zn+1=2zn+
+2i，得an+1+bn+1•i=2（an+bn•i）+（an-bn•i）+2i=3an+（bn+2）•i，
∴
，
∴数列{an}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{bn}是以1为首项公差为2的等差数列，
∴an=3n-1，bn=2n-1；
（2）由（1）知an=3n-1，bn=2n-1．
①z1+z2+…+zn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）•i
=（1+31+32+…+3n-1）+（1+3+5+••+2n-1）•i
=
(3n-1)+n2•i．
②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Sn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)（Ⅰ）
将（Ⅰ）式两边乘以3得，3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)（Ⅱ）
将（Ⅰ）减（Ⅱ）得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)．
∴-2Sn=-2+3n(-2n+2)，
所以Sn=(n-1)•3n+1．
由zn+1=2zn+
. |
| zn |
∴
|
∴数列{an}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{bn}是以1为首项公差为2的等差数列，
∴an=3n-1，bn=2n-1；
（2）由（1）知an=3n-1，bn=2n-1．
①z1+z2+…+zn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）•i
=（1+31+32+…+3n-1）+（1+3+5+••+2n-1）•i
=
| 1 |
| 2 |
②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Sn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)（Ⅰ）
将（Ⅰ）式两边乘以3得，3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)（Ⅱ）
将（Ⅰ）减（Ⅱ）得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)．
∴-2Sn=-2+3n(-2n+2)，
所以Sn=(n-1)•3n+1．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了等差关系和等比关系的确定，考查了数列的和，由等差数列和等比数列的积构成的数列，求和的方法是错位相减法．是中档题．
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