题目内容

16.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,且满足f(2)=0,则不等式$\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$的解集为(  )
A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,2)D.(-2,0)∪(0,2)

分析 根据题意可得到f(x)在(-∞,0)上单调递减,f(-2)=0,从而由不等式x•f(x)<0可得$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{f(x)<f(2)}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{f(x)>f(-2)}\end{array}\right.$,根据f(x)的单调性便可得出x的取值范围.

解答 解:奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减;
f(2)=0,∴f(-2)=0;
∴由不等式$\frac{f(x)-f(-x)}{x}<0$得$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{f(x)<f(2)}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{f(x)>f(-2)}\end{array}\right.$;
∴x>2,或x<-2;
∴原不等式的取值范围为{x|x>2,或x<-2}.
故选:B.

点评 考查奇函数的定义,奇函数在对称区间上的单调性,将不等式变成不等式组从而解不等式的方法.

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