Question

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$．
（1）求角A的大小；
（2）若B=$\frac{π}{2}$，AB=4$\sqrt{3}$，点D是斜边AC上的一个动点，连接BD，以BD为折痕，将△BDA翻折，使点A落在平面BCD内点A₁处，连接A₁C，如图，求A₁C的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知整理可得b²+c²-a²=bc，由余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），即可求A．
（2）求出∠A₁AC，由三角形性质知，边所对应角最小时，边长最小，当∠A₁AC=θ-30°=0时，即可求A₁C的最小值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{a+b+c}{a+b}$=$\frac{b}{a+c}$，∴整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）以BD为折痕，将△ABD折到与△ADC到同一个平面内，
设∠ABD=θ．则AB=BA₁，∠ABD=∠A₁BD=θ，
∴∠A₁AC=60°-$\frac{180°-2θ}{2}$=θ-30°，
由三角形性质知，边所对应角最小时，边长最小，故当∠A₁AC=θ-30°=0时，A₁C最小，
即θ=30°，
可知BD⊥AC，BD=6，
则AA₁=4$\sqrt{3}$，得出A₁C=AC-AA₁=8$\sqrt{3}-4\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∴A₁C的最小值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．