题目内容

14．已知圆O的半径为r，A为平面上一点，|OA|=a，a≠r，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，以OA的中点为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若Q点轨迹的离心率为$\sqrt{5}$，则（　　）
A．a=$\sqrt{5}$rB．a=2rC．a=$\sqrt{3}$rD．a=$\sqrt{2}$r

分析 根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线，求出离心率，即可得出结论．

解答 解：由题意，A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点
∵线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，
∴QA=QP，∴QA-Q0=QP-QO=OP=r，
即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，
根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线
∴$\frac{a}{r}$=$\sqrt{5}$，
∴a=$\sqrt{5}$r，
故选：A．

点评 结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．

练习册系列答案
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4．如图，已知圆E：${（x+\sqrt{3}）^2}+{y^2}$=16，点$F（\sqrt{3}，0）$，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）设直线l与（1）中轨迹Г相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0），若恰好成等比数列，求△OAB的面积S的最大值．
5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列四个命题正确的是（　　）
A．若m、n?α，m∥β，n∥β，则α∥βB．若m?α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
2．已知a＞0，a≠1，f（x）=x-ak，g（x）=x2-a2．
（1）若方程logaf（x）=loga$\sqrt{g（x）}$ 有解，求k的取值范围；
（2）若函数h（x）满足：h'（x）=g（x）-kf（x），求当a=2时函数h（x）的单调区间．
9．已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）+2a-1≥f（x+a）．
19．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a=1，b=$\sqrt{3}，A=\frac{π}{6}$，则边长c=2或1．．
6．设集合M={x|y=ln（1-x）}，集合N={y|y=x2}，则M∩N等于（　　）
A．[0，1）B．[0，1]C．（一∞，1）D．（一∞，1]
3．已知角α在第一象限且cosα=$\frac{3}{5}$，求$\frac{1+\sqrt{2}cos（2α-\frac{π}{4}）}{sin（α+\frac{π}{2}）}$的值．
12．已知圆C过点O（0，0），A（-1，-7）和B（8，-4）
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．

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