Question

2．已知a＞0，a≠1，f（x）=x-ak，g（x）=x²-a²．
（1）若方程log_a^f（x）=log_a$\sqrt{g（x）}$ 有解，求k的取值范围；
（2）若函数h（x）满足：h'（x）=g（x）-kf（x），求当a=2时函数h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到$\left\{\begin{array}{l}{x-ak＞0}&{①}\\{（x-ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}}&{②}\end{array}\right.$，由②便可得到2kx=a（1+k²），容易说明k≠0，从而可解出x，带入①便可得到关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围；
（2）容易求出a=2时，h′（x）=x²-kx+2k²-4，要判断h（x）的单调性，显然需要判断h′（x）的符号，从而需讨论△的取值：△≤0时，h′（x）≥0，从而得到h（x）此时在R上单调递增，△＞0时，可设h′（x）=0的两根为x₁，x₂，这时候即可判断h′（x）的符号，从而判断出此时h（x）的单调性．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x-ak＞0}&{①}\\{{x}^{2}-{a}^{2}＞0}&{②}\\{（x-ak）^{2}={x}^{2}-{a}^{2}}&{③}\end{array}\right.$；
易知①③成立时，②显然成立，所以只需解①③；
由③得：2kx=a（1+k²）④；
当k=0时，由a＞0知④无解；
所以k≠0，$x=\frac{{a（1+{k^2}）}}{2k}$，代入①得：
$\frac{a（1+{k}^{2}）}{2k}＞ak$⇒$\frac{1+{k}^{2}}{2k}＞k$⇒$\frac{1-{k}^{2}}{k}＞0$；
解得k＜-1，或0＜k＜1；
∴k的取值范围为（-∞，-1）∪（0，1）；
（2）a=2时，h′（x）=g（x）-kf（x）=x²-kx+2k²-4；
△=16-7k²；
当k$≤-\frac{4\sqrt{7}}{7}$，或$k≥\frac{4\sqrt{7}}{7}$时，△≤0，h′（x）≥0恒成立；
∴h（x）在R上单调递增；
当$-\frac{4\sqrt{7}}{7}＜k＜\frac{4\sqrt{7}}{7}$时，△＞0；
令h′（x）=0得，${x}_{1}=\frac{k-\sqrt{16-7{k}^{2}}}{2}，{x}_{2}=\frac{k+\sqrt{16-7{k}^{2}}}{2}$；
∴h（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在[x₁，x₂]上单调递减．

点评 考查对数中的真数大于0，解分式不等式，以及判别式和二次函数取值的关系，函数导数符号和函数单调性的关系，并且要熟悉二次函数的图象．