题目内容
【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,点E是BC的中点.
(1)求线段DE的长;
(2)求直线A1E与平面ADD1A1所成角的正弦值.
【答案】
(1)解:以D为原点, , , 方向为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),E(1,2,0), =(1,2,0),
∴线段DE的长| |= = .
(2)解:∵A1(2,0,2),E(1,2,0),∴ =(﹣1,2,﹣2),
∵平面ADD1A1的一个法向量 =(0,2,0),
∴cos< , >= = = ,
∵直线A1E与平面ADD1A1所成角的正弦值等于 ,
∴直线A1E与平面ADD1A1所成角的正弦值为 .
【解析】(1)以D为原点, , , 方向为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出线段DE的长.(2)求出平面ADD1A1的一个法向量,利用向量法能求出直线A1E与平面ADD1A1所成角的正弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解棱柱的结构特征的相关知识,掌握两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形,以及对空间角的异面直线所成的角的理解,了解已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则.
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