题目内容
【题目】已知椭圆
：
的右焦点与短轴两端点构成一个面积为
的等腰直角三角形，
为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
在椭圆上，点
在直线
上，且
，求证：
为定值；
（3）设点
在椭圆上运动，
，且点到直线
的距离为常数
，求动点
的轨迹方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】
（1）由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出
，
，由此能求出椭圆
的方程．
（2）设
，
，则
的方程
，由
，得
，
，由此能证明
为定值
．
（3）设
，，
，由
，得，又
点在椭圆上，得：
，从而
，
，由此能求出
点轨迹方程．
解：（1）
椭圆
的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，
为坐标原点，
，
，
椭圆的方程为．
证明：（2）设，，则的方程，
由，得，，
，
为定值．
解：（3）设，，，由，得，①
又点在椭圆上，得：，②
联立①②，得：，，③
由，得
，
，
，
化简，得点轨迹方程为：．
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