Question

【题目】如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；(Ⅲ) .

【解析】

（Ⅰ）由线面平行的性质可得，由勾股定理可得，从而可得平面，进而可得结果；（Ⅱ）取的中点为，连接，可证明为平行四边形，，是与所成的角，利用余弦定理可得结果；(Ⅲ) 作于，由面面垂直的性质可得平面，连接，则就是直线与平面所成角，求出与的值，进而可得结果.

（Ⅰ）平面平面，
，

，
，
又平面，

平面，

平面平面；

（Ⅱ）

取的中点为，连接，

则，

为平行四边形，，

是与所成的角，，

，，

又直角三角形中，

所以，

，

即异面直线与所成角的余弦值为；

(Ⅲ)

作，为垂足.
由(Ⅰ)知平面平面，
平面平面，
平面，连接，则
就是直线与平面所成角，

在中,，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.