Question

【题目】已知函数.

(1) 如果，求函数的值域；

(2) 求函数＝的最大值；

(3) 如果对不等式中的任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 最大值为1. (3)

【解析】

(1)令，则可利用二次函数的性质求函数的值域，注意换元后的范围.

(2)去掉绝对值符号后可得，分别求出各自范围上函数值的取值范围可得的最大值．

(3)原不等式等价于在上恒成立，换元后利用参变分离可求的取值范围．

解：令，

(1) .

因为，所以 ，所以 的值域为．

(2) ，

当时，；当时，，

所以

即

当时，的最大值为1；当时，.

综上，当时，取到最大值为1.

(3) 由，得.

因为，所以，

所以 对一切恒成立．

① 当时，；

②时，恒成立，即.

因为 ，当且仅当，即时取等号．

所以的最小值为.

综上，.