Question

13．若定义运算a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a＜b}\\{b，a≥b}\end{array}\right.$，则函数f（x）=log₂x⊕log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的值域是   （　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，0]
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先由定义确定函数f（x）的解析式，再根据函数的定义域和单调性求函数的值域．

解答 解：令log₂x＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
即log₂x＜-log₂x，
∴2log₂x＜0，
∴0＜x＜1；
令log₂x≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
即log₂x≥-log₂x，
∴2log₂x≥0
∴x≥1，
又∵a⊕b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a＜b}\\{b，a≥b}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，0＜x＜1}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x≥1}\end{array}\right.$，
当0＜x＜1时，函数f（x）=log₂x单调递增，∴此时f（x）∈（-∞，0）；
当x≥1时，函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x单调递减，∴此时f（x）∈（-∞，0]．
∴函数f（x）的值域为（-∞，0]．
故选：B．

点评 本题考查解对数不等式以及对数函数的值域，求对数函数的值域要注意函数的单调性．属于中档题．