Question

16．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a²≠b²），直线l与椭圆交于A、B两点，以AB为直径的圆过坐标原点，证明O到AB的距离是定值．（用参数方程解）

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当OA，OB斜率都存在时，设直线OA的方程为y=kx，代入椭圆方程，可得${x}_{1}^{2}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．以$-\frac{1}{k}$代替k，可得${x}_{2}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{2}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$．可得O到AB的距离的平方d²=$\frac{|OA{|}^{2}|O{B}^{2}|}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，当OA，OB斜率有一个不存在时，上式也成立．即可证明．

解答 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当OA，OB斜率都存在时，设直线OA的方程为y=kx，代入椭圆方程，可得${x}_{1}^{2}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
以$-\frac{1}{k}$代替k，可得${x}_{2}^{2}$=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$，${y}_{2}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}$．
∴O到AB的距离的平方d²=$\frac{|OA{|}^{2}|O{B}^{2}|}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}）（{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}）}{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\frac{\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}×\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{{a}^{2}{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴O到AB的距离d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$是定值．
当OA，OB斜率有一个不存在时，上式也成立．
综上可得：O到AB的距离d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$是定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直角三角形的面积变形，考查了推理能力与计算能力，属于难题．