Question

4．f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{2a+1}{2}{x}^{2}$+2x+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）x＞0时，讨论f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，对a讨论，分当a=0时，当a＜0时，a=$\frac{1}{2}$时，0＜a＜$\frac{1}{2}$时，a＞$\frac{1}{2}$时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）由（1），求出x＞0的单调区间．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-$\frac{2a+1}{2}{x}^{2}$+2x+1的导数为
f′（x）=ax²-（2a+1）x+2=（x-2）（ax-1），
当a=0时，f′（x）=2-x，f′（x）＞0解得x＜2，f′（x）＜0解得x＞2，
即有f（x）的增区间为（-∞，2），减区间为（2，+∞）；
当a＜0时，2＞$\frac{1}{a}$，f′（x）＞0解得$\frac{1}{a}$＜x＜2，f′（x）＜0解得x＞2或x＜$\frac{1}{a}$，
即有f（x）的增区间为（$\frac{1}{a}$，2），减区间为（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
当a＞0时，①a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）的增区间为R；
②a＞$\frac{1}{2}$时，2＞$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0解得$\frac{1}{a}$＜x＜2，f′（x）＞0解得x＞2或x＜$\frac{1}{a}$，
即有f（x）的减区间为（$\frac{1}{a}$，2），增区间为（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
③0＜a＜$\frac{1}{2}$时，2＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0解得2＜x＜$\frac{1}{a}$＜，f′（x）＞0解得x＜2或x＞$\frac{1}{a}$，
即有f（x）的减区间为（2，$\frac{1}{a}$），增区间为（$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，2）．
综上可得，当a=0时，f（x）的增区间为（-∞，2），减区间为（2，+∞）；
当a＜0时，f（x）的增区间为（$\frac{1}{a}$，2），减区间为（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
a=$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为R；a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）的减区间为（$\frac{1}{a}$，2），增区间为（2，+∞），（-∞，$\frac{1}{a}$）；
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）的减区间为（2，$\frac{1}{a}$），增区间为（$\frac{1}{a}$，+∞），（-∞，2）．
（2）x＞0时，由（1）可得，
当a≤0时，f（x）的增区间为（0，2），减区间为（2，+∞）；
当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）的减区间为（$\frac{1}{a}$，2），增区间为（2，+∞），（0，$\frac{1}{a}$）；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）的减区间为（2，$\frac{1}{a}$），增区间为（$\frac{1}{a}$，+∞），（0，2）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用分类讨论的思想方法是解题的关键．