Question

【题目】已知点O为△ABC的外心，角A，B，C的对边分别满足a，b，c， （Ⅰ）若3 +4 +5 = ，求cos∠BOC的值；
（Ⅱ）若 = ，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 设外接圆半径为R，由3 +4 +5 = 得：4 +5 =﹣3 ，平方得：16R2+40 +25R2=9R2 ， 即 =﹣ R2 ，
则cos∠BOC=﹣ ；
（Ⅱ）∵ = ，
∴ = ，
即： = ，
可得：﹣R2cos2A+R2cos2B=﹣R2cos2C+R2cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1﹣2sin2A）=2﹣（2sin2B+2sin2C），
∴2sin2A=sin2B+sin2C，
∴利用正弦定理变形得：2a2=b2+c2 ，
∴ =2
【解析】（Ⅰ）设三角形ABC的外接圆半径为R，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O为三角形的外心，得到| |=| |=| |=R，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos∠BOC的值；（Ⅱ）将已知的等式左右两边利用平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二倍角的余弦公式(二倍角的余弦公式：)．