题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 +
=1(a>b>0)与双曲线
﹣y2=1有相同的焦点F1 , F2 , 抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,且与椭圆在第一象限的交点为M,若|MF1|+|MF2|=2
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若|MF|= ,求抛物线的方程.
【答案】
(1)解:由条件得 ,解得a=
,b=
,
∴椭圆方程为 =1
(2)解:设M(x0,y0),则|MF|=y0+ =
,即p=
﹣2y0,
又M在椭圆上,
∴x02+3y02=6,且x02=2py0,
∴(7﹣4y0)y0+3y02=6,解得y0=1或y0=6(舍),
∴p= ,
∴抛物线方程为x2=3y
【解析】(1)根据椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a;(2)根据抛物线x2=2py(p0)上的点(x0,y0)到焦点的距离d=y0+
将y0用p表示,然后将(x0,y0)分别代入椭圆方程及抛物线方程,联立组成方程组.
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