Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 + =1（a＞b＞0）与双曲线 ﹣y2=1有相同的焦点F1 ， F2 ， 抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若|MF1|+|MF2|=2 ．

（1）求椭圆的方程；
（2）若|MF|= ，求抛物线的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件得 ，解得a= ，b= ，

∴椭圆方程为 =1

（2）解：设M（x0，y0），则|MF|=y0+ = ，即p= ﹣2y0，

又M在椭圆上，

∴x02+3y02=6，且x02=2py0，

∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），

∴p= ，

∴抛物线方程为x2=3y

【解析】（1）根据椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a；（2）根据抛物线x2=2py（p0）上的点（x0，y0）到焦点的距离d=y0+将y0用p表示，然后将（x0，y0）分别代入椭圆方程及抛物线方程，联立组成方程组.