题目内容
(本题满分16满分)设A、B分别为椭圆(a>b>0)的左右顶点,P为直线x=u上不同于(u,0)的任一点,若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B的点M、N,研究点B与以MN为直径的圆的位置关系.
略
因A(-a,0),B(a,0),设M(x1,y1),由P、A、M三点共线可得:P(u,),于是=
(x1-a,y1),="(u-a," ),="(" x1-a)(u-a)+ ……3分
因为M点在椭圆上,所以代入上式整理可得:
=.……6分
由点M异于顶点A、B,所以x1-a>0,……8分
1)当a<u<时,a(a2+b2)-u(a2-b2)>0,所以>0,
于是∠MPB为锐角,此时∠MBN与∠MBP互补,从而∠MBN为钝角,故点B在MN为直径的圆内。
2)当u=时,a(a2+b2)-u(a2-b2)=0,所以=0,于是∠MPB为直角,故点B在以MN为直径的圆上。……12分
3)当u>时,a(a2+b2)-u(a2-b2)<0,则<0,于是,∠MPB为钝角,此时∠MBN与∠MBP互补,从而∠MBN为锐角,故点B在MN为直径的圆外。…………14分
当u<a时,a(a2+b2)-u(a2-b2)>0,所以>0,∠MPB为锐角,此时∠MBN与∠MBP相等,从而∠MBN为锐角,故点B在MN为直径的圆外。…………………………………16分
点评:本题考查直线与圆位置关系,直线与椭圆位置关系,灵活运用相关知识解决问题的能力,运算能力,属于难题
(x1-a,y1),="(u-a," ),="(" x1-a)(u-a)+ ……3分
因为M点在椭圆上,所以代入上式整理可得:
=.……6分
由点M异于顶点A、B,所以x1-a>0,……8分
1)当a<u<时,a(a2+b2)-u(a2-b2)>0,所以>0,
于是∠MPB为锐角,此时∠MBN与∠MBP互补,从而∠MBN为钝角,故点B在MN为直径的圆内。
2)当u=时,a(a2+b2)-u(a2-b2)=0,所以=0,于是∠MPB为直角,故点B在以MN为直径的圆上。……12分
3)当u>时,a(a2+b2)-u(a2-b2)<0,则<0,于是,∠MPB为钝角,此时∠MBN与∠MBP互补,从而∠MBN为锐角,故点B在MN为直径的圆外。…………14分
当u<a时,a(a2+b2)-u(a2-b2)>0,所以>0,∠MPB为锐角,此时∠MBN与∠MBP相等,从而∠MBN为锐角,故点B在MN为直径的圆外。…………………………………16分
点评:本题考查直线与圆位置关系,直线与椭圆位置关系,灵活运用相关知识解决问题的能力,运算能力,属于难题
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