Question

6．若存在实数m，n，使得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{e}^{x}}-\frac{a}{x}≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$的解集为[m，n]，则a的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{{e}^{x}}$，e）
• B． （0，$\frac{1}{{e}^{x}}$）
• C． （0，$\frac{1}{2e}$）
• D． （0，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 由题意得a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，从而令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，从而可得0＜$\frac{x}{{e}^{x}}$≤$\frac{1}{e}$，从而解得．

解答 解：∵当x＞0时，
化简$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{x}$≥0得，
$\frac{x-a{e}^{x}}{x•{e}^{x}}$≥0，
即a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
故f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$在（0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
故0＜$\frac{x}{{e}^{x}}$≤$\frac{1}{e}$，
结合图象可得，a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）；

故选D．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．