题目内容
14.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球D的表面上,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=3,AB=BC=2,则球O的表面积为( )A. | 13π | B. | 17π | C. | 52π | D. | 68π |
分析 取PC的中点O,连结OA、OB.由线面垂直的判定与性质,证出BC⊥PB且PA⊥AC,得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形,从而得出OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PC,所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上.根据题中的数据,利用勾股定理算出PC长,进而得到球半径R,利用球的表面积公式加以计算,可得答案.
解答 解:取PC的中点O,连结OA、OB
∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC,
又∵AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,
∵PB?平面PAB,∴BC⊥PB,
∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线,OB=$\frac{1}{2}$PC.
同理可得:Rt△PAC中,OA=$\frac{1}{2}$PC,
∴OA=OB=OC=OP=$\frac{1}{2}$PC,可得P、A、B、C四点在以O为球心的球面上.
Rt△ABC中,AB=BC=2,可得AC=2$\sqrt{2}$,
Rt△PAC中,PA=3,可得PC=$\sqrt{17}$.
∴球O的半径R=$\frac{\sqrt{17}}{2}$,可得球O的表面积为S=4πR2=17π.
故选:B.
点评 本题给出特殊的三棱锥,由它的外接球的表面积.着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识,属于中档题.
练习册系列答案
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(1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表:
(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.10 的前提下认为性 别与喜爱运动有关?
参考公式:K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中 n=a+b+c+d.
(1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表:
喜爱运动 | 不喜爱运动 | 总计 | |
男 | 10 | 16 | |
女 | 6 | 14 | |
总计 | 30 |
参考公式:K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中 n=a+b+c+d.
P( k2≥k0) | 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
k0 | 0.708 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
2.对于向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$和实数λ,下列正确的是( )
A. | 若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0,则$\overrightarrow{a}$=0或$\overrightarrow{b}$=0 | B. | 若λ$\overrightarrow{a}$=0,则λ=0或$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$ | ||
C. | 若$\overrightarrow{a}$2=$\overrightarrow{b}$2,则$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$或$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{b}$ | D. | 若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$,则$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{c}$ |
9.已知角α的终边经过点(-2,1),则cos2α=( )
A. | -$\frac{3}{5}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{2}{5}$ | D. | -$\frac{2}{5}$ |
6.若存在实数m,n,使得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{e}^{x}}-\frac{a}{x}≥0}\\{x>0}\end{array}\right.$的解集为[m,n],则a的取值范围为( )
A. | ($\frac{1}{{e}^{x}}$,e) | B. | (0,$\frac{1}{{e}^{x}}$) | C. | (0,$\frac{1}{2e}$) | D. | (0,$\frac{1}{e}$) |
3.已知满足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{x-2y+1≤0}\\{x+y-2≤0}\end{array}}\right.$的(x,y)使x2+(y-1)2≤m恒成立,则m的取值范围是( )
A. | m≥1 | B. | $m≥\sqrt{2}$ | C. | m≥2 | D. | $m≥\sqrt{5}$ |