题目内容
2．已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=$\frac{3}{2}$Sn+1．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和Tn．
分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：（1）∵Sn+1=$\frac{3}{2}$Sn+1，∴当n≥2时，${S}_{n}=\frac{3}{2}{S}_{n-1}$+1，可得an+1=$\frac{3}{2}{a}_{n}$，
又a1+a2=$\frac{3}{2}{a}_{1}$+1，解得a2=$\frac{3}{2}$，∴${a}_{2}=\frac{3}{2}{a}_{1}$．
∴数列{an}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{3}{2}$．
∴an=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等比数列，首项为1，公比为$\frac{2}{3}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和Tn=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=$3[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．
点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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