Question

17．（1）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））=4x-1，求f（x）；
（2）已知f（x）=ax²+bx+c，若f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为一次函数，从而可设f（x）=kx+b，这样可求出f（f（x））=k²x+kb+b=4x-1，让对应项的系数相等，从而可求出k，b，即可求出f（x）；
（2）先根据f（0）=0便得出c=0，从而f（x）=ax²+bx，然后可求出f（x+1），从而根据f（x+1）=f（x）+x+1，由对应项的系数相等从而可求出a，b，从而可得出f（x）．

解答 解：（1）设f（x）=kx+b，则f（f（x））=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k²x+kb+b=4x-1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=4}\\{kb+b=-1}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$；
∴$f（x）=2x-\frac{1}{3}$，或f（x）=-2x+1；
（2）f（0）=0；
∴c=0；
∴f（x）=ax²+bx；
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b；
∴由f（x+1）=f（x）+x+1得：ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$；
解得$a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}x$．

点评 考查一次函数的一般形式，已知f（x）可求f[g（x）]：将f（x）中的x换成g（x），多项式相等时，对应的项的系数相等．