题目内容

【题目】已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x=﹣2的距离小1,动点C的轨迹为E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(km<0)与曲线E相交于A,B两个不同点,且 ,证明:直线l经过一个定点.

【答案】
(1)解:由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x=﹣1的距离,

∴曲线E是以点(1,0)为焦点,直线x=﹣1为准线的抛物线,

设其方程为y2=2px(p>0),∴ ,∴p=2,

∴动点C的轨迹E的方程为y2=4x


(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由 ,整理得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0,

∴x1x2+y1y2= =

∴m2+4km﹣5k2=0,∴m=k或m=﹣5k,又km<0,m=k舍去,m=﹣5k,满足△=16(1﹣km)>0,

则直线l的方程为y=k(x﹣5),

∴直线l必经过定点(5,0)


【解析】(1)根据抛物线的定义,即可求得曲线E的方程;(2)设直线l的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得m=﹣5k,即可求得直线l的方程,则直线l必经过定点(5,0).

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